Introducción
La distribución normal estandarizada es una herramienta fundamental en estadística que simplifica el cálculo de probabilidades para cualquier conjunto de datos que siga una distribución normal. En este tutorial aprenderás qué es, cómo calcular los z-scores, y cómo aplicarlos en un caso práctico paso a paso.
Paso 1: Entender la Distribución Normal Estandarizada
La distribución normal estandarizada es una versión especial de la distribución normal con una media (μ\mu) de 0 y una desviación estándar (σ\sigma) de 1. Se utiliza para calcular probabilidades sin depender de los valores específicos de μ\mu y σ\sigma del conjunto de datos.
Paso 2: Convertir un Valor xx a un Z-score
El z-score es una medida que indica cuántas desviaciones estándar un valor xx está por encima o por debajo de la media (μ\mu).
La fórmula es: z=x−μσz = \frac{x – \mu}{\sigma}
Interpretación del z-score:
- Si z>0z > 0, el valor xx está por encima de la media.
- Si z<0z < 0, el valor xx está por debajo de la media.
- Si z=0z = 0, el valor xx es igual a la media.
Paso 3: Consultar la Tabla Z
La tabla z te indica la probabilidad acumulada para un valor específico de zz. Esto te permite calcular probabilidades en rangos definidos.
Caso Práctico: Altura de Estudiantes
Escenario: Las alturas de los estudiantes de una escuela están distribuidas normalmente, con una media (μ\mu) de 170 cm y una desviación estándar (σ\sigma) de 10 cm. Queremos responder:
- ¿Qué porcentaje de estudiantes mide menos de 160 cm?
- ¿Qué porcentaje mide entre 160 cm y 180 cm?
Solución Paso a Paso
Paso 1: Calcular el z-score para 160 cm
z=160−17010=−1z = \frac{160 – 170}{10} = -1
Paso 2: Consultar la tabla z para z=−1z = -1
- La tabla z proporciona la probabilidad acumulada hasta z=−1z = -1: 0.1587.
- Esto significa que el 15.87% de los estudiantes mide menos de 160 cm.
Paso 3: Calcular el z-score para 180 cm
z=180−17010=1z = \frac{180 – 170}{10} = 1
Paso 4: Consultar la tabla z para z=1z = 1
- La tabla z proporciona la probabilidad acumulada hasta z=1z = 1: 0.8413.
Paso 5: Calcular el porcentaje entre 160 cm y 180 cm
- Probabilidad acumulada hasta 180 cm: 0.84130.8413.
- Probabilidad acumulada hasta 160 cm: 0.15870.1587.
- Porcentaje entre 160 y 180 cm: 0.8413−0.1587=0.68260.8413 – 0.1587 = 0.6826, o 68.26%.
Conclusión
En este ejemplo:
- El 15.87% de los estudiantes mide menos de 160 cm.
- El 68.26% mide entre 160 cm y 180 cm.
La distribución normal estandarizada simplifica el cálculo de probabilidades en problemas estadísticos, transformando valores reales en z-scores para su fácil consulta en tablas.
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